对数2(先看1）

tiger · 发表于 2023-3-14 19:34:41

本帖最后由 tiger 于 2023-3-14 19:37 编辑

对数的定义[url=]编辑[/url][url=] 播报[/url]
如果

，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作

。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。

特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lgN。
称以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为lnN。
零没有对数。 [2]
在实数范围内，负数无对数。 [3] 在虚数范围内，负数是有对数的。

事实上，当

，

，则有e(2k+1)πi+1=0，所以ln(-1)的具有周期性的多个值，ln(-1)=(2k+1)πi。这样，任意一个负数的自然对数都具有周期性的多个值。例如：ln(-5)=(2k+1)πi+ln 5。 [4]

对数函数[url=]编辑[/url][url=] 播报[/url]

定义
函数

叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量。x的定义域是

。

函数基本性质
1. 过定点

，即x=1时，y=0。
2. 当

时，在

上是减函数；当

时，在

上是增函数。

应用[url=]编辑[/url][url=] 播报[/url]
对数在数学内外有许多应用。这些事件中的一些与尺度不变性的概念有关。例如，鹦鹉螺的壳的每个室是下一个的大致副本，由常数因子缩放。这引起了对数螺旋。Benford关于领先数字分配的定律也可以通过尺度不变性来解释。对数也与自相似性相关。例如，对数算法出现在算法分析中，通过将算法分解为两个类似的较小问题并修补其解决方案来解决问题。自相似几何形状的尺寸，即其部分类似于整体图像的形状也基于对数。对数刻度对于量化与其绝对差异相反的值的相对变化是有用的。此外，由于对数函数log(x)对于大的x而言增长非常缓慢，所以使用对数标度来压缩大规模科学数据。对数也出现在许多科学公式中，例如Tsiolkovsky火箭方程，Fenske方程或能斯特方程。 [5]